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高一数学函数综合题[重点难点]1． 能综合运用函数的概念、性质以及指数函数和对数函数的概念、性质解题。2． 能运用函数的性质，指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。3． 了解数学应用题的建模方法：（1） 认真审题，准确理解题意；（2） 抓住主要数量关系，引入适当的变量或建立适当的坐标系，能运用已有数学知（3） 识的方法，将实际问题中的数量关系译成数学语言或数学关系式；（4） 将实际问题抽象为数学问题。一、选择题1．如果奇函数f(x)在区间[3，答高7]上是增函数且最小值为5，那么它在区间[-7，-3]上是（）（A）增函数且最小值为-5 （B）增函数且最大值为-5（C）减函数且最小值为-5 （D）减函数且最大值为-52．已知P>q>1,0 1：设x1>x2,x1,x2在（0，π/2)上，x2=x1+z，z<0。 慧旅贺y2-y1=sinx2-sinx1=sin(x1+z)-sinx1=sinx1cosz+cosx1sinz-sinx1 =sinx1(cosz-1)+cosx1sinz 因为cosz-1<0,sinz<0.所以有y2-y1<镇斗0.所以是增函数。 2. 前派 (1)将x=0,x=-1分别带入已知式计算得春仿虚到大辩f(1)=1,f(-1)=3, 又由扒燃f(0)=1 ,函数为二次函数，可设其为f(x)=ax*x+bx+c=0 带入解得c=1,a=1/2,b=-3/2 f(x)=1/2x*x-3/2x+1 (2)m 最小值为f(1)=-2 m<-2 一、选择题(本大题共12小竖春题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.设U=R，A={x|x>0}，B={x|x>1}，则A∩?UB=() A{x|0≤x<1} B.{x|0 C.{x|x<0 d="" x="">1} 【解析】 ?UB={x|x≤1}，∴A∩?UB={x|0 【答案】 B 2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0，且a≠1)的反函数，且租首f(2)=1，则f(x)=() A.log2x B.12x C.log12x D.2x-2 【解析】 f(x)=logax，∵f(2)=1， ∴loga2=1，∴a=2. ∴f(x)=log2x，故选A. 【答案】 A 3.下列函数中，与函数y=1x有相同定义域的是() A.f(x)=ln x B.f(x)=1x C.f(x)=|x| D.f(x)=ex 【解析】 ∵y=1x的定义域为(0，+∞).故选A. 【答案】 A 4.已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)=12x;当x<4时，f(x)=f(x+1).则f(3)=() A.18 B.8 C.116 D.16 【解析】 f(3)=f(4)=(12)4=116. 【答案】 C 5.函数y=-x2+8x-16在区间[3,5]上() A.没有零点 B.有一个零点 C.有两个零点 D.有无数个零点 【解析】 ∵y=-x2+8x-16=-(x-4)2， ∴函数在[3,5]上只有一个零点4. 【答案】 B 6.函数y=log12(x2+6x+13)的值域是() A.R B.[8，+∞) C.(-∞，-2] D.[-3，+∞) 【解析】 设u=x2+6x+13 =(x+3)2+4≥4 y=log12u在[4，+∞)上是减函数， ∴y≤log124=-2，∴函数值域为(-∞，-2]，故选C. 【答案】 C 7.定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(-2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是() A.y=x2+1 B.y=|x|+1 C.y=2x+1，x≥0x3+1，x<0 D.y=ex，x≥0e-x，x<0 【解析】 ∵f(x)为偶函数，由图象知f(x)在(-2,0)上为减函数余型耐，而y=x3+1在(-∞，0)上为增函数.故选C. 【答案】 C 8.设函数y=x3与y=12x-2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是() A.(0,1) B.(1,2) C(2,3) D.(3,4) 【解析】 由函数图象知，故选B. 【答案】 B 9.函数f(x)=x2+(3a+1)x+2a在(-∞，4)上为减函数，则实数a的取值范围是() A.a≤-3 B.a≤3 C.a≤5 D.a=-3 【解析】 函数f(x)的对称轴为x=-3a+12， 要使函数在(-∞，4)上为减函数， 只须使(-∞，4)?(-∞，-3a+12) 即-3a+12≥4，∴a≤-3，故选A. 【答案】 A 10.某新品牌电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销量y与投放市场的月数x之间的关系的是() A.y=100x B.y=50x2-50x+100 C.y=50×2x D.y=100log2x+100 【解析】 对C，当x=1时，y=100; 当x=2时，y=200; 当x=3时，y=400; 当x=4时，y=800，与第4个月销售790台比较接近.故选C. 【答案】 C 11.设log32=a，则log38-2 log36可表示为() A.a-2 B.3a-(1+a)2 C.5a-2 D.1+3a-a2 【解析】 log38-2log36=log323-2log3(2×3) =3log32-2(log32+log33) =3a-2(a+1)=a-2.故选A. 【答案】 A 12.已知f(x)是偶函数，它在[0，+∞)上是减函数.若f(lg x)>f(1)，则x的取值范围是() A.110，1 B.0，110∪(1，+∞) C.110，10 D.(0,1)∪(10，+∞) 【解析】 由已知偶函数f(x)在[0，+∞)上递减， 则f(x)在(-∞，0)上递增， ∴f(lg x)>f(1)?0≤lg x<1，或lg x<0-lg x<1 ?1≤x<10，或0 或110 ∴x的取值范围是110，10.故选C. 【答案】 C 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上) 13.已知U={2,3，a2-a-1}，A={2,3}，若?UA={1}，则实数a的值是________. 【答案】 -1或2 14.已知集合A={x|log2x≤2}，B=(-∞，a)，若A?B，则实数a的取值范围是(c，+∞)，其中c=________. 【解析】 A={x|0 【答案】 4 15.函数f(x)=23x2-2x的单调递减区间是________. 【解析】 该函数是复合函数，可利用判断复合函数单调性的方法来求解，因为函数y=23u是关于u的减函数，所以内函数u=x2-2x的递增区间就是函数f(x)的递减区间.令u=x2-2x，其递增区间为[1，+∞)，根据函数y=23u是定义域上的减函数知，函数f(x)的减区间就是[1，+∞). 【答案】 [1，+∞) 16.有下列四个命题： ①函数f(x)=|x||x-2|为偶函数; ②函数y=x-1的值域为{y|y≥0}; ③已知集合A={-1,3}，B={x|ax-1=0，a∈R}，若A∪B=A，则a的取值集合为{-1，13}; ④集合A={非负实数}，B={实数}，对应法则f：“求平方根”，则f是A到B的映射.你认为正确命题的序号为：________. 【解析】 函数f(x)=|x||x-2|的定义域为(-∞，2)∪ (2，+∞)，它关于坐标原点不对称，所以函数f(x)=|x||x-2|既不是奇函数也不是偶函数，即命题①不正确; 函数y=x-1的定义域为{x|x≥1}，当x≥1时，y≥0，即命题②正确; 因为A∪B=A，所以B?A，若B=?，满足B?A，这时a=0;若B≠?，由B?A，得a=-1或a=13.因此，满足题设的实数a的取值集合为{-1,0，13}，即命题③不正确;依据映射的定义知，命题④正确. 【答案】 ②④ 三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-3x-10的两个零点为x1，x2(x1 【解析】 A={x|x≤-2，或x≥5}. 要使A∩B=?，必有2m-1≥-2，3m+2≤5，3m+2>2m-1， 或3m+2<2m-1， 解得m≥-12，m≤1，m>-3，或m<-3，即-12≤m≤1，或m<-3. 18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+2ax+2，x∈[-5,5]. (1)当a=-1时，求f(x)的最大值和最小值; (2)求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数. 【解析】 (1)当a=-1时， f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1，x∈[-5,5]. 由于f(x)的对称轴为x=1，结合图象知， 当x=1时，f(x)的最小值为1， 当x=-5时，f(x)的最大值为37. (2)函数f(x)=(x+a)2+2-a2的图象的对称轴为x=-a， ∵f(x)在区间[-5,5]上是单调函数， ∴-a≤-5或-a≥5. 故a的取值范围是a≤-5或a≥5. 19.(本小题满分12分)(1)计算：27912+(lg5)0+(2764)-13; (2)解方程：log3(6x-9)=3. 【解析】 (1)原式 =25912+(lg5)0+343-13 =53+1+43=4. (2)由方程log3(6x-9)=3得 6x-9=33=27，∴6x=36=62，∴x=2. 经检验，x=2是原方程的解. 20.(本小题满分12分)有一批影碟机(VCD)原销售价为每台800元，在甲、乙两家商场均有销售，甲商场用下面的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元;乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少? 【解析】 设购买x台，甲、乙两商场的差价为y，则去甲商场购买共花费(800-20x)x，由题意800-20x≥440. ∴1≤x≤18(x∈N). 去乙商场花费800×75%x(x∈N*). ∴当1≤x≤18(x∈N*)时 y=(800-20x)x-600x=200x-20x2， 当x>18(x∈N*)时，y=440x-600x=-160x， 则当y>0时，1≤x≤10; 当y=0时，x=10; 当y<0 x="">10(x∈N). 综上可知，若买少于10台，去乙商场花费较少;若买10台，甲、乙商场花费相同;若买超过10台，则去甲商场花费较少. 21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg(1+x)-lg(1-x). (1)求函数f(x)的定义域; (2)判断函数f(x)的奇偶性; 【解析】 (1)由1+x>0，1-x>0，得-1 ∴函数f(x)的定义域为(-1,1). (2)定义域关于原点对称，对于任意的x∈(-1,1)， 有-x∈(-1,1)， f(-x)=lg(1-x)-lg(1+x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数. 22.(本小题满分14分)设a>0，f(x)=exa+aex是R上的偶函数. (1)求a的值; (2)证明：f(x)在(0，+∞)上是增函数. 【解析】 (1)解：∵f(x)=exa+aex是R上的偶函数， ∴f(x)-f(-x)=0. ∴exa+aex-e-xa-ae-x=0， 即1a-aex+a-1ae-x=0 1a-a(ex-e-x)=0. 由于ex-e-x不可能恒为0， ∴当1a-a=0时，式子恒成立. 又a>0，∴a=1. (2)证明：∵由(1)知f(x)=ex+1ex， 在(0，+∞)上任取x1 f(x1)-f(x2)=ex1+1ex1-ex2-1ex2 =(ex1-ex2)+(ex2-ex1)?1ex1+x2. ∵e>1，∴0 ∴ex1+x2>1，(ex1-ex2)1-1ex1+x2<0， ∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1) ∴f(x)在(0，+∞)上是增函数. 我为大家提供的高一必修一数学函数的应用测试题，大家仔细阅读了吗?最后祝同学们学习进步。 已知实数 ，求函数 的零点。16.（本题满分12分）已知函数 .（Ⅰ）求 的定义域吵樱；（Ⅱ）证实：函数 在定义域内单调递增.17.（本题满分14分）某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件. 假如降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 （单位：元， ）的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．（Ⅰ）将一个星期的商品销售利润表示成 的函数；（Ⅱ）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？18.（本题满分14分）若函数y= x3－ ax2 （a－1）x 1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6， ∞）内为增函数，试求实数a的取值范围.19.（本题满分14分）两个二次函数 与 的图象有唯一的公共点 ，（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）设 ，若 在 上是单调函数，求 的范围，并指出是单调递增函数，还是单调递减函数。20.（本题满分14分）设函数y= 是定义在R上的函数碧轿，并且满足下面三个条件： ①对任意正数x、y，都有； ②当x>1时， <0； ③ .（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）证实 上是减函数；（Ⅲ）假如不等式 成立，求x的取值范围。 15.（本题满分12分）解： ， 可能等于1或 或 。 ………………………………2分当 时，集合为 ，不符合集合元素的互异性。 同理可得 。，得 （舍去）或 。 ………………………………9分，解方程 得函数 的零点为 和 。 ………………12分16．解：（1）由 ,解得 ∴ 的定义域为 ……………………4分（2）证实：设 ,∴ 则 因此： , 即： ,则 在（- ，0）上为增函数。…………………14分17．(本题满分14分)解：（1）设商品降价 元，则每个星期多卖的商品数为 ，若记商品在一个星期的获利为 ，则依题意有， ……………………4 分又由已知条件， ，于是有 ， ………………………6 分所以 ． ……………………7 分（2）根据（1），我们有 ．…………9分当 变化时， 与 的变化如下表：21200极小极大…………………11 分故 时， 达到极大值．因为 ， ，所以定价为 元能使一个星期的商品销售利润最大． ……………………14 分18、（剖析：用导数研究函数单调性，考查综合运用数学知识解决问题的能力）.解： （x）=x2－ax a－1=0得x=1或x=a－1，当a－1≤1，即a≤2时，函数f（x）在（1， ∞）上为增函数，不合题意.当a－1>1，即a>2时，函数f（x）在（－∞，1）上为增函升慧丛数，在（1，a－1）上为减函数，在（a－1， ∞）上为增函数.依题意，当x∈（1，4）时， （x）<0，当x∈（6， ∞）时， （x）>0，∴4≤a－1≤6.∴5≤a≤7.∴a的取值范围为［5，7］.评述：若本题是“函数f（x）在（1，4）上为减函数，在（4， ∞）上为增函数.”我们便知x=4两侧使函数 （x）变号，因而需要讨论、探索，属于探索性问题.19．（本小题满分14分）解：（1）由已知得 化简得 …………………………2分且 即 有唯一解 …………………………3分所以 即 …………………………5分消去 得 ，解得 …………………………7分（2） …………………………9分…………………………10分若 在 上为单调函数，则 在 上恒有 或 成立。因为 的图象是开口向下的抛物线，所以 时 在 上为减函数， …………………………12分所以 ，解得 即 时， 在 上为减函数。 …………………………14分20．解：（Ⅰ）令x=y=1易得 . 而 ，且 （Ⅱ） ∴ ∴ 在R 上为减函数。（Ⅲ）由条件（1）及（Ⅰ）的结果得： 由可（Ⅱ）得： 解得x的范围是 ）
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