目录初三数学奥林匹克竞赛题 初三奥数竞赛数学难题 清华最难奥数题
中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．已知非零实数a，b 满足（b+2)的绝对值+（2a-4)的绝对值+根号(a-3)b²+4=2a，则a+b 等于（）．
（A）－1（B）0 （C）1 （D）2
【答】C．
解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为 ，于是 ，从而 ＝1．
2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（）．
（A）（B）返尘（C）1（D）2
【答】A．
解：因为△BOC ∽ △ABC，所以 ，即
，
所以，．
由 ，解得 ．
3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先
后投掷两次，记第一次掷出的点数为 ，第二次掷出的点数为 ，则使关于x，y的方程组 只有正数解的概率为（ ）．
（A） （B）（C）（D）
【答】D．
解：当 时，方程组无解．
当 时，方程组的解为
由已知，得 即 或
由 ， 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得
共有 5×2＝10种情况；或 共3种情况．
又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为 ．
4．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB‖DC， .动点P从点
B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y. 把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则△ABC的面积为（ ）．
（A）10（B）16（C）18 （D）32
【答】B．
解：根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故
S△ABC＝ ×8×4＝16.
5．关于x，y的方程 的整数解（x，y）的组数为（）．
（A）2组（B）3组（C）4组（D）无穷纤祥多组
【答】C．
解：可将原方程视为关于 的二次方程，将其变形为
．
由于该方程有整数根，则判别式 ≥ ，且是完全平方数．
由≥ ，
解得 ≤ ．于是
0 1 4 9 16
116 109 88 53 4
显然，只有毁世搏 时， 是完全平方数，符合要求．
当 时，原方程为 ，此时 ；
当y＝－4时，原方程为 ，此时 ．
所以，原方程的整数解为
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶km ．
【答】3750．
解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km
磨损量为 ,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为 .又设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有
两式相加，得 ，
则 ．
7．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则 的值为．
解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF ．
由题设知 ， ，在△FHA和△EFA中，
，
所以Rt△FHA∽Rt△EFA，
.
而 ，所以.
8．已知 是满足条件 的五个不同的整数，若 是关于x的方程 的整数根，则 的值为 ．
【答】 10．
解：因为 ，且 是五个不同的整数，所有 也是五个不同的整数．
又因为 ，所以
．
由 ，可得 ．
9．如图，在△ABC中，CD是高，CE为 的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于．
【答】 ．
解：如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25 ．
故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且 ．
作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由 ，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF‖AC，所以
，
即 ，
解得 ．所以 ．
10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是．
【答】 ．
解：设报3的人心里想的数是 ，则报5的人心里想的数应是 ．
于是报7的人心里想的数是，报9的人心里想的数是，报1的人心里想的数是，报3的人心里想的数是 ．所以
，
解得 ．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．函数 的图象与 轴的两个交点是否都在直线 的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线 的右侧时k的取值范围．
解：不一定，例如，当k＝0时，函数的图象与x轴的交点为（0，0）和
（1，0），不都在直线 的右侧． ………………5分
设函数与x轴的两交点的横坐标为 ，则 ，当
且仅当满足如下条件
………………10分
时，抛物线与 轴的两交点都在直线 的右侧．
由
解之，得………………15分
所以当 时，抛物线与 轴的两交点在直线 的右侧．
………………20分
12．在平面直角坐标系 中，我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”，求二次函数 的图象上所有“好点”的坐标．
解：设，m，k都是非负整数，则
，
即． ……………10分
则有
解得
所以
故“好点”共有4个，它们的坐标是：
………………20分
13．如图，给定锐角三角形ABC， ，AD，BE是它的两条高，过点 作△ABC的外接圆的切线 ，过点D，E分别作 的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．
解法1：结论是 ．下面给出证明． ………………5分
因为 ，所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB．于是可得
．
同理可得．
………………10分
又因为 ，所以有 ，于是可得
． ………………20分
解法2：结论是 ．下面给出证明．
……………… 5分
连接DE，因为 ，所以A，B，D，E四点共圆，故
．………………10分
又l是⊙O的过点C的切线，所以 ． ………………15分
所以， ，于是DE‖FG，故DF＝EG．
………………20分
14．n个正整数 满足如下条件： ；
且 中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．
解：设 中去掉 后剩下的n－1个数的算术平均数为正整数 ， ．即．
于是，对于任意的1≤ ≤n，都有
，
从而 ．………………5分
由于是正整数，故
． ………………10分
由于
≥ ，
所以， ≤2008，于是n ≤45.
结合 ，所以，n ≤9． ………………15分
另一方面，令 ，…， ，
，则这9个数满足题设要求．
综上所述，n的最大值为9. ………………20分
1.在三角形ABC中，AB=AC，AD为BC上高，AD的中点是M，CM的延长线交AB于点K
求证：AB=3AK
2.如果一个三角形的三边长度都小于1，则其面积小于根号3/4
3.在直角三角形ABC中，角ACB=90度，CD垂直AB于点D，DE,DF分别垂直于AC,BC于点E,F，证明AE/BF=AC^3/BC^3
4.设0为锐角，满足4/SIN^2 0 +9/COS^2 0=25
则8/SIN^4 0 +27/COS^4 0=？？
5.设A,B为实数，求A^2+AB+B^2-A-2B的最小值
6.求出函数Y=X^2-2X-3/2X^2+2X+1的最大值和最小值
7.求满足X+Y+Z=1
X^3+Y^3+Z^3=1的全部整数解
解答：
1.由梅捏劳斯定理，得AK/KB ×BC/CD ×DM/MA=1，则AK/BK=1/2，故AB=3AK
2.设∠A存在最小角
则A≤1/3×180°=60°
设夹A角的两边长伟b,c由假设b,c均小于1
∴S△=bc sinA/2≤sin60°/2=√3/4
3.由已知条件易知DE=CF，且∠EDA=∠CDF=∠B
∴有tan∠EDA=AE/DE
tan∠CDF=CF/DF
∴tanB=DF/BF=AC/BC
故有AC³/BC³=tanB³=tanB×tan∠CDF×tan∠EDA
=DF/BF × AE/DE ×CF/DF =AE/BF
∴AE/BF=AC³/BC³
4. ∵sin0²+cos0²=1
又由已知条件，
∴得4cos²0+9(1-cos²0)=25cos²0(1-cos²0)
即(5cos0²-3)²=0
cos²0=3/5
∴sin²0=2/5
5.a²+ab+b²-a-2b
=a²+(b-1)a+b²-2b
=a²+(b-1)a+(b-1)²/4+3b²森衫此/4-3b/2-1/4
=〖a+（b-1)/2〗²+3(b-1)²/4-1
得其式子≥-1（指-1前面一个部分）
当a+(b-1)/2=0
b-1=0
即a=0
b=1时，上面这个不等式等号成立
∴最小塌侍值为-1
6.去分母，得
(2y-1)x²+2(y+1)x+(y+3)=0
当x≠1/2时，这是一个二次方程
∵x是实数
∴该式子≥0
即〖（2（y+1)〗²-4(2y-1)(y+3)≥0
解此迅得-4≤y≤1
且x=-1/3时，y=4
当x=-2时，y=1
∴y的最大值为1
最小值为-4
即-4≤y≤1
7.由x+y+z=1得z=1-(x+y)
带入x³+y³+z³=1
得(x+y)(x²-xy+y²+x+y+2)=0
即，(x+y)〖(x-y)²+(x+1)²+(y+1)²-6〗=0
∴有x=-y或者(x-y)²+(x+1)²+(y+1)²=6
∵6表示为3个整数的平方和的方式
∴6=（±2）²+（±1）²+（±1）²
∴(x1，y)=(0，-2）（-2，0），（-3，-2），（-2,-3),(1,0),(0,1)
∴原方程组的全部整数解有
x=n---x=0---x=-2---x=-2---x=1---x=0
y=-n--y=-2---y=0=--y=-3---y=0----y=1
z=1---z=3----z=3---z=6----z=0---z=0
1、解：因迟掘为存在a值，使x2+a2x+a=0有实根，即：存在x值，使关于a的方程xa2+a+x2=0也有实根，故：△=1-4x3≥0,故：x≤(1/4)开3次方
即：该方程的根x所能取的最大值是(1/4)开3次方
2、解：因为x2-100x+196=(x-98)(x-2)
即：2≤x≤98时，x2-100x+196=(x-98)(x-2)≤0
故：|x2-100x+196|= -x2+100x-196
故： （x2-100x+|x2-100x+196|）= （x2-100x -x2+100x-196）=-98
即：x=2、3、4、5、…、96、97、98时，y2=y3=y4=…=y97=y98=-98
而x=1时,y1=-2；x=99时，拆旦配y99=-2；x=100时，y100=196
故：y1+y2+y3+…+y98+y99+y100=-2-2+(-98)×97+196=-9314
3、解：因为二次函数y=ax2+bx+c（其中a是正整数）的图像经过点A（-1，4）与点B（2，1）
故：a-b+c=4；4a+2b+c=1
故：b=-1-a；c=3-2a
因为与x轴有两个不同旅指的交点
故：△=b2-4ac＞0
故：(-1-a) 2-4a(3-2a)＞0
故：a＞7/9+2√5/9或a＜7/9-2√5/9
因为a是正整数，故：a的最小值是2
又：b+c=-1-a+3-2a=2-3a
故：b+c的最大值是－4
