大学数学竞赛题？大学数学竞赛历史沿革那么，大学数学竞赛题？一起来了解一下吧。
题目：计算不定积分 (\int e^x \sin x , dx)。
解答思路：可以使用分部积分法来解决这个问题。首先，我们选择 (u = e^x) 和 (dv = \sin x , dx)。这样，我们有 (du = e^x , dx) 和 (v = -\cos x)。
应用分部积分公式 (\int u , dv = uv - \int v , du)，我们得到：[\int e^x \sin x , dx = -e^x \cos x - \int -e^x \cos x , dx]
接下来，我们再次应用分部积分法，选择 (u = e^x) 和 (dv = \cos x , dx)。这样，我们有 (du = e^x , dx) 和 (v = \sin x)。
再次应用分部积分公式，我们得到：[\int -e^x \cos x , dx = -e^x \sin x + \int e^x \sin x , dx]
将这两个结果结合起来，我们得到：[\int e^x \sin x , dx = -e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \sin x , dx]
移项并两边同时除以2，最终得到：[\int e^x \sin x , dx = \frac{e^x \sin x - e^x \cos x}{2} + C]
题目：求矩阵 (A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}) 的逆矩阵。
解答思路：对于一个 (2 \times 2) 的矩阵 (\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix})，其逆矩阵可以通过公式 (\frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix}) 来计算，其中 (ad - bc) 是矩阵的行列式。
对于矩阵 (A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix})，我们有 (a = 1), (b = 2), (c = 3), (d = 4)。计算行列式 (ad - bc = (1)(4) - (2)(3) = -2)。
应用上述公式，我们得到逆矩阵：[A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}]
题目：在一个盒子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取两个球，求至少抽到一个红球的概率。
解答思路：首先，我们计算所有可能的抽球组合数。从8个球中抽取2个球的组合数是 (\binom{8}{2})。
接下来，我们计算没有抽到红球的情况数，即从3个蓝球中抽取2个球的组合数是 (\binom{3}{2})。
因此，至少抽到一个红球的概率是 (1 - \frac{\binom{3}{2}}{\binom{8}{2}})。
计算得到：[P(\text{至少一个红球}) = 1 - \frac{3}{28} = 1 - \frac{3}{28} = \frac{25}{28}]
以上就是大学数学竞赛题的全部内容，大学数学竞赛历史沿革。
