琴生不等式高考题，琴生定理

琴生不等式高考题？证明过程如下：令f(x)=2^x/x²，(x≥4)f'(x)=[(ln2)·2^x·x²-2x·2^x]/(x²)²=[(ln2)·x-2]·x·2^x/x⁴2^x恒>0。x>4>0，那么，琴生不等式高考题？一起来了解一下吧。

琴生不等式解决高考题

解：取对数ln后，

不等式等价于ln(x1)+ln(x2)……+ln(xn)>-ln2-1

等价于1+ln2>ln(1/x1)+ln(1/x2)……+ln(1/xn)

即1+ln2>ln(1+1)+ln(1+1/2)……+ln(1+1/2^(n-1))

等价于1>ln(1+1/2)……+ln(1+1/2^(n-1))

又有ln(1+x)

所以ln(1+1/2)……+ln(1+1/2^(n-1))<1/2+1/4……+1/2^(n-1)=1-1/2^(n-1)<1

所以原不等式成立

如果要用琴生不等式，则取函数ln(1+x)，它的二阶导数小于0，说明其为凸函数

则有(1/n)*[ln(1+1/2)……+ln(1+1/2^(n-1))]

(1/n)*(1-1/2^(n-1))]

所以ln(1+1/2)……+ln(1+1/2^(n-1))

注意到1+(1/n)^n是单调增的且它的极限为e

(这是一个基本的极限公式，不知你有没有学过极限的知识，自主招生中可能会考）

所以ln(1+1/2)……+ln(1+1/2^(n-1))

这样看琴生不等式后再放一次与结果相近所以可以用的，此时用琴生不等式可对一个等比数列求和，使得不等式简化，可以实现结果。

琴生不等式高中需要掌握吗

随便取一个都可以，方便的话我们取以e为底吧

令f（x）=ln x

也就是证明：f（x拔）>=f（x）拔 （“x拔”表示x_1，x_2，x_n的平均值，"f（x）拔"表示它们的函数值的平均值）

因为f（x）=ln x的二阶倒数为- 1/x^2 是上凸函数

所以根据琴声不等式，就有f（x拔）>=f（x）拔成立

这个也可以用归纳法证明，不过处理技巧上还是有点小纠结的，用对数函数的凹凸性和琴声不等式来证明，挺快的

琴生不等式经典例题

琴生不等式秒杀高考导数压轴是以丹麦数学家约翰·琴生（Johan Jensen）命名的一个重要不等式，琴生不等式也称之为詹森不等式，它本质上是对函数凹凸性的应用。

琴生不等式具有许多作用，尤其是在证明不等式中发挥着巨大的作用，应用琴生不等式证明往往比借助其他一般性理论更为容易。

函数的凹凸性在高中数学中不做具体要求，事实上这是高等数学研究的函数的一个重要性质。琴生不等式也经常在高中数学练习或高考试题中出现，这也说明了高考命题的原则是源于教材而高于教材，同时也体现了为高校输送优秀人才的选拔功能性。

具备性质

不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变。

总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。

琴生不等式高考例题

琴生不等式（Cauchy-SchwarzInequality）是高中数学中常见的不等式之一，其证明方法如下：

设a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn为任意实数，则有：

(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)

≥(a1b1+a2b2+…+anbn)^2

证明过程如下：

1.当n=1时，不等式显然成立。

2.假设当n=k时，不等式成立。即：

(a1^2+a2^2+…+ak^2)(b1^2+b2^2+…+bk^2)

≥(a1b1+a2b2+…+akbk)^2

3.当n=k+1时，我们需要证明：

(a1^2+a2^2+…+ak^2+ak+1^2)(b1^2+b2^2+…+bk^2+bk+1^2)

≥(a1b1+a2b2+…+akbk+ak+1bk+1)^2

4.将不等式右侧的平方展开，得到：

(a1b1+a2b2+…+akbk)^2+2ak+1bk+1(a1b1+a2b2+…+akbk)+ak+1^2bk+1^2

5.根据假设，我们有：

(a1^2+a2^2+…+ak^2)(b1^2+b2^2+…+bk^2)

≥(a1b1+a2b2+…+akbk)^2

6.因此，不等式右侧的第一项是大于等于0的。

琴生不等式是高中内容吗

琴生不等式：（注意前提、等号成立条件）

设f(x)为上凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]>=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n,称为琴生不等式（幂平均）。

加权形式为：

f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]>=a1f(x1)+a2(x2)+……+anf(xn),其中

ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.

如何证明琴生不等式

假设对于n=2^k琴生不等式成立，那么对于n=2^(k+1)

(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n

=((f(x1)+f(x2)+...+f(x(n/2)))/(n/2)+(f(x(n/2+1))+...+f(xn))/(n/2))/2

>=(f(（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2))+f((x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2

>=f(((（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2)

=f((x1+x2+...+xn)/n)

所以对于所有2的幂，琴生不等式成立。

现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂，我们可以找到一个k,使得2^k>n

然后我们设

x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n

代入2^k阶的琴生不等式结论，整理后就可以得到结论。

以上就是琴生不等式高考题的全部内容，因为f（x）=ln x的二阶倒数为- 1/x^2 是上凸函数 所以根据琴声不等式，就有f（x拔）>=f（x）拔成立 这个也可以用归纳法证明，不过处理技巧上还是有点小纠结的，用对数函数的凹凸性和琴声不等式来证明。