目录高中数学统计与概率重难点 高中数学概率统计经典例题 高中统计与概率总结 统计概率考点梳理高中
统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象。
《统计与概率》是配合《普通高中数学课程标准（实验）》的实施而编写的，侧重于为实施新课程的教师提供与课程标准的理念.
处理方法相匹配的数学教学资源，进而向教师提供专业知识、方法的补充资源，目的是帮助教师掌握课程标准中的相关内容，更好地理解和处理新课程的讲授。
《统计与概率》既可作为实施高中数学新课程的教师培训与日常教学参考用书，希望还能成为教师自我开发教学资源，提高自己的数学专业水平的参考书。
统计职能
统计要达到认识社会的目的，不仅需要科学的郑仿方法，而且需要强有力的组织领导。因此统计兼有信息、咨询、监督三种职能。
信息职能
是统计部门根据科学的统计指标体系和统计调查方法，灵敏、的采集、处理、传输、贮存和提供大量的以数据描述为基本特征的社会经济信息。
咨询职能
指利用已经掌握的丰富的统计信息资源，运用科学的分析方法和先进的技术手段，深入开展综合分析和专题研究并丛慧，为科学决策和管理提供各种可供选择的咨询建议与对策方案。
监督职能
指根据统计调查和绝答分析，及时、准确地从总体上反映经济、社会和科技的运行状态，并对其实行全面、的定量检查、监测和预警，以促使国民经济按照客观规律的要求，持续、稳定、协调地发展。
高中概率与统计是必修三
一般情况下，概率是高一、高二；排列组合是高二，并且概率分为两个部分。
概率：教材，必修三，选修2-3
排列组合：教材，选修2-3
概率，亦称“或然率”，它是反映随机事件出现的可能性大小。随机事宽备首件是指在相同条件下，可能出现也可能不出现的事滚敬件。
例如，从一批有正品和次品的商品中，随意抽取一件，“抽得的是正品”就是一个随机事件。
设对某一随机现象进行了n次试验与观察，其中A事件出现了m次，即其出现的频率为m/n。经过大量反复试验，常有m/n越来越接近于某个确定的常数（此论断证明详见伯努利大数定律）。
该常数即为事件A出慎数现的概率，常用P (A) 表示。
统计与概率
一、选择题 1、（惠州市2014届高三第三次调研考）某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图
如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为（ ）
A. 6万元 B．8万元 C．10万元
D．12万元
答案：C 2、（珠海市2014届高三上学期期末）学校为了解学生课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10，50）（单位：元），其中支出在[10，30）（单位：元）的同学有33人，其频率分布直方图如右图所示，则支出在[40，50）（单位：元）的同学人数是（ ） A、100 B、120 C、30 D、300 答案：C 二、填空题 1、（佛山市2014届高三教学质量检测（一））一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为
1
,则总体中的个9
体数为 答案：180 2、（广州市2014届高三1月调研测试）如图3，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y x图象下郑银方的点构成的区域．在D内随机取一点，则该点落在E中的概率为 答案：
2
1
3
3、（广东省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生． 答案：15
4、（揭阳市2014届高三学业水平考试）图（2）是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损；则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为
答案：
4 5
5、（中山市2014届高三上学期期末考试）如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向
区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为 375 颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为 平方米.（用分数作答） 答案：
8
3
三、解答题 1、（佛山市2014届高三教学质量检测（一））
佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:cm)分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:cm)分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179. (Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)；
(Ⅱ) 利用简单随机抽样的方法,分别在两支球队身高超过170cm的队员中各抽取一人做代表,设抽取的两人中身高超过178cm的人数为X,求X的分布列和数学期望.
【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. „„4分 （注：写对茎叶图2分，方差结论正确2分）
(Ⅱ)排球队中超过170cm的有4人,超过178cm的有3人, 篮球队中超过170cm的有5人,超过178cm的有2人, （注：正确描述人数各2分，共计4分）
所以X的所有可能取值为0,1,2则„„„„„„„„5分 （注：正确写出X的值1分）
11C1C3
P(X=0)=13=, 1
20C4C5
1111
C1C2+C3C311
P(X=1)==, 11
20C4C5
排球队 篮球队
图4
排球队 篮球队
3 2 18 1
9 1 0 17 0 3 6 8 9 8 8 3 2 16 2 5 8
8 15 9
11C3C6
P(X=2)=12=,„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 1
C4C520
（注：正确写出概率表达式各1分，概率计算全部正确1分，共计4分，若概率计算错误超过两个，扣1，共计3分）
所以X的分布列为
„„„„„„„„11分 所以X的数学期禅丛毕望EX=0⨯
311623
.„„„„„„„„„12分 +1⨯+2⨯=
20202020
3
2、（广州市2014届高三1月调研测试）
空气质量指数PM2.5 (单位:μg/m)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重．PM2.5的浓度与空气质量类别的关系贺芹如下表所示：
从甲城市2013年9月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图5所示．
3 2 0 4
（2）在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良 5 5
6 4 的天数，求X的分布列及数学期望．
7 6 9 7
8 8 0 7
9 1 8 0 9
ks5u
解：（1）由茎叶图可知，甲城市在2013年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或图5 良的天数为5天．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分
所以可估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10天．„2分
（2）X的取值为0，1，2，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分
02C5C103
=，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 因为P(X=0)=2
C1571
C1105C10
P(X=1)==，„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 2
C1521
（1）试估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数；
20C5C102
P(X=2)==．„„„„„„„„„„„„„„9分 2
C1521
所以X的分布列为：
所以数学期望EX=0⨯+1⨯+2⨯=．
721213
„„„„10分
3、（增城市2014届高三上学期调研）
在一个盒子里装有6枝圆珠笔，其中3枝一等品，2枝二等品，1枝三等品.
（1）从盒子里任取3枝恰有1枝三等品的概率多大？；
（2）从盒子里任取3枝，设ξ为取出的3枝里一等品的枝数，求ξ的分布列及数学期望.
C52
解.（1）P=3 2分
C6
5⨯4
1
== 4分 6⨯5⨯423⨯2⨯1
（2）ξ=0,1,2,3, 5分
311C3C3⨯C32C32⨯C3199
ξ===P(ξ=0) =3=，P(ξ=1) =，P(=0) ， 33
C620C620C620
3C31
P(ξ=0) =3=（各1分） 9分
C620
所以ξ的分布列是
ξ
P
0 1 2 3
1 209 209 201 20
10分 E(ξ)=0×
19913+1×+2×+3×= 12分 202020202
4、（省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末）
盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数-i,i,-2,2,其中i是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验
的结果互不影响）．
（1）求事件A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率与事件B “在四次试验中，至少
有两次得到虚数” 的概率；
（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为a,b，求随机变量ξ=a⋅b的分布列与数学
期望Eξ. 解：（1）P(A)=
21
=， ……………………………………………………………2分 42
⎡
P(B)=1-P()=1-⎢C4()()+C4()()⎥=1-=. ………… 5分
22221616⎣⎦（2）a,b,ξ的可能取值如下左表所示：
1
1
41
1
1
13⎤
511
ξ a
-i i 1 1 2 2
-2 2 2 4 4
2 2 2 4 4
-i i -2 2 1 1 2 2
……………………………………………………………6分
由表可知：P(ξ=1)=
418141
=,P(ξ=2)==,P(ξ=4)==. ………………9分 164162164
所以随机变量X的分布列为（如上右表） …………………………………… 10分 所以E(ξ)=1⨯
1119
+2⨯+4⨯=. ………………………………………………12分 4244
5、（惠州市2014届高三第三次调研考）
甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为
2221，乙队中3人答对的概率分别为,,，3332
且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分． （1）求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（2）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．
解：（1）解法一：由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且 „„„„1分
12⎛2⎫2⎛2⎫1
P(ξ=0)=C30⨯ 1-⎪=，P(ξ=1)=C3⨯⨯ 1-⎪=，„„„„3分
3⎝3⎭9⎝3⎭27
2
3
32
8⎛2⎫⎛2⎫43⎛2⎫P(ξ=2)=C⨯ ⎪⨯ 1-⎪=，P(ξ=3)=C3⨯ ⎪=．„„„„5分
⎝3⎭⎝3⎭9⎝3⎭27
23
所以ξ的分布列为
ξ的数学期望为Eξ=0⨯
1248+1⨯+2⨯+3⨯=2．„„„„7分 279927
⎛
⎝2⎫3⎭
解法二：根据题设可知，ξ~B 3⎪，„„„„3分 因此ξ的分布列为
⎛2⎫⎛2⎫
P(ξ=k)=C3k⨯ ⎪⨯ 1-⎪
⎝3⎭⎝3⎭
k3-k
2k
=C⨯3k=01，，2，3．„„5分
3
k3
因为ξ~B 3⎪，所以Eξ=3⨯
⎛⎝2⎫3⎭
2
=2．„„„„7分 3
（2）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分
乙得0分”这一事件，所以AB=C D，且C，D互斥，又„„„„8分
⎛2⎫⎛2⎫⎡211121111⎤10
P(C)=C⨯ ⎪⨯ 1-⎪⨯⎢⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⎥=4，„10分
⎝3⎭⎝3⎭⎣332332332⎦3
23
2
⎛111⎫43⎛2⎫P(D)=C3⨯ ⎪⨯ ⨯⨯⎪=5，„„„„11分
⎝3⎭⎝332⎭3
由互斥事件的概率公式得P(AB)=P(C)+P(D)=
12分
6、（揭阳市2014届高三学业水平考试）
根据空气质量指数AQI（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:
3
1043434
．„„„+5=5=4
333243
某市2013年10月1日—10月30日，对空气质量指数
进行监测,获得数据后得到如图（4）的条形图:
（1）估计该城市本月(按30天计)空气质量类别为中 度污染的概率；
（2）在上述30个监测数据中任取2个,设ξ为空气 质量类别颜色为紫色的天数,求ξ的分布列.解：（1）由条形统计图可知,空气质量类别为中度污染的天数为6, -------------1分
所以该城市本月空气质量类别为中度污染的概率
天数
1086420
61P==.---------------------4分
305
（2）随机变量ξ的可能取值为
0,1,2,-----------------------------------------------5分
空气质量级别
一级二级
三级四级五级六级
图（4）
2C2665
则P(ξ=0)=2=,-----------------------------------------------------------7分
C308711C4C26104
P(ξ=1)==,----------------------------------------------------------9分 2
C304352C42
P(ξ=2)=2=-------------------------------------------------------11分
C30145
所以ξ的分布列为:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12分 7、（汕头市2014届高三上学期期末教学质量监测）
2013年2月20日,针对房价过高,国务院常务会议确定五条措施(简称“国五条”).为此,记者对
某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查,随机抽取了60人,作出了他们的月收入的频率分布直方图(如图),同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表(如下表):
(I)试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入;
(Ⅱ)若从月收入(单位:百元)在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查,记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.解：（Ⅰ）这60人的月平均收入为：
（5分）
(20⨯0.015+30⨯0.015+40⨯0.025+50⨯0.02+60⨯0.01)⨯10=43.5（百元）
（Ⅱ）根据频率分布直方图可知道：
„„„„„„（7分）
„„（12分）
(每算对一个一分，正确给出x的取值1分，共5分
)
„„„„„„（14分）
（正确写出分布列1分，正确算出期望值1分）
8、（肇庆市2014届高三上学期期末质量评估） 一次考试中，5名同学的语文、英语成绩如下表所示：
（1） 根据表中数据，求英语分y对语文分x的线性回归方程；
（2） 要从4名语文成绩在90分（含90分）以上的同学中选出2名参加一项活动，以ξ表
示选中的同学的英语成绩高于90分的人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.
+a 中，b=y=bx（附:线性回归方程
∑(x-)(y-)
i
i
i=1
n
∑(x-)
i
i=1
n
=- ,其中,为样本平,a
2
ˆ,aˆ的值的结果保留二位小数.） 均值，b
【解析】(1) =
87+90+91+92+95
=91, （1分）
5
86+89+8+99+294
==90 ,（2分）
5
∑(x-)
i
i=1
5
2
=(-4)2+(-1)2+02+1+42=34,
∑(x-)(y-)=(-4)⨯(-4)+(-1)⨯(-1)+0⨯(-1)+1⨯2+4⨯4=35,
i
i
i=1
5
=35≈1.03, aˆ=- x≈90-1.03⨯91= 3.73b
34y=1.03x-3.73 (6分) 故回归直线方程为
(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2.
211
C2C2C221
P(ξ=0)=2=; （7分） P(ξ=1)==;（8分） 2
C46C432C21
P(ξ=2)=2=. （9分）
C46
故X的分布列为
∴Eξ=0⨯+1⨯+2⨯=1. （12分）
636
9、（中山市2014届高三上学期期末考试）
某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．
（I）估计这次测试数学成绩的平均分；ks5u
（II）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
解：（I）利用中值估算抽样学生的平均分：
45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =72. ……………（3分） 众数的估计值为75分
……………（5分）
所以，估计这次考试的平均分是72分．
……………（6分） （注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分）
2
=15， （II）从95， 96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是C6
有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.005×10×80=4（人），
2
这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是C4=6，
62
=. ……………（8分） 155
随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，则有．
两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率P=
23
∴P(ξ=k)=C3k()k()3-k,k=0,1,2,3
55
∴变量ξ的分布列为：
…………（10分）
Eξ=0⨯
83654546+1⨯+2⨯+3⨯= [1**********]55
…………（12分）
2
解法二. 随机变量ξ满足独立重复试验,所以为二项分布, 即ξ~B(3,)………（10分）
5Eξ=np=3⨯
26
（珠海市2014届高三上学期期末） = …………（12分）11、
55
答案： 10、（珠海市2014届高三上学期期末）
PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物。我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标。某试点城市环保局从该市市区2013年上半年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如右下图茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）。
（1）在这15天的PM2.5日均监测数据中，求其中位数； （2）从这15天的数据中任取2天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数
据超标的天数，求ξ的分布列及数学期望；
（3）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年
（按360天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级. 解：(1)由茎叶图可得中位数是45 (2) 依据条件，ξ服从超几何分布：
其中N=15,M=5,n=3，ξ的可能值为0,1,2
2-k
C5k⋅C10
由p(ξ=k)=， 2
C15
2
C50⋅C103
=得p(ξ=0)=， 2
C157
110C5⋅C10C52⋅C10102
， ， p(ξ=1)==p(ξ=2)==22
C1521C1521
所以ξ的分布
列为：
102= 153
3
∴Eξ=0⨯7(2)依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为p=一年中空气质量达到一级或二级的天数为η，则η～B(360,)
2
3
2
∴Eη=360⨯=240
3
∴一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级
11、（珠海一中等六校2014届高三第三次联考）
平安汽车租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
(Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：
3600-3000
=12，
50
所以这时租出了88辆车.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分
（2）设每辆车的月租金定为x元，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分
则租赁公司的月收益为：f（x）=（100－x-3000）（x－150）－x-3000×50，„„8
50
50
分
1x2整理得：f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050.
5050
所以，当x=4050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）=307050. „„„„„„„„„11
分
即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.„12分 12、（东莞市2014届高三上学期期末调研测试）
某校有甲、乙两个研究性学习小组，两组的人数如下：
现采用分层抽样的方法，从甲、乙两组中共抽取3名同学进行展示交流。 （1）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；
（2）记X为抽取的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望。 解：（1）依题意，甲、乙两组的学生人数之比为 (5+7):(3+3)=2:1， „„„1分
所以，按照分层抽样的方法，从甲组抽取的学生人数为
2
⨯3=2；从乙组抽取的3
学生人数为⨯3=1． „„„2分 设“从甲组抽取的同学中恰有1名女同学”为事件A， „„„3分
11C7⋅C535
= 则P(A)=， 2
C1266
13
故从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率为
35
． „„„„5分 66
（2）随机变量X的所有取值为0,1,2,3． „„„„6分
11111
C52⋅C3C7⋅C5⋅C3C52C3515
P(X=0)=21=,P(X=1)=+=,2121
C⋅C66C⋅CCC[1**********]
11111C7⋅C5⋅C3C72C3C72⋅C3147
P(X=2)=+=,P(X=3)==, „„„9212121
C⋅CCC33C⋅C[1**********]
分
所以，随机变量X的分布列为:
„„„„10分
数学期望E(X)=0⨯
5151475+1⨯+2⨯+3⨯=． „„„12分 664433443
解答过程如下：
第一小问是求的是m值，题目中所给左边四个小长方形的高度从左到右依次构成公比为2的等比数列。故假设第一个小长方答睁虚形高度为a1，第二个为a1×2，第三个为a1×2^2，第四个为a1×2^3，而第四个高度为m，因此可以求出a1为m/8，第二个为m/4，第三个为m/2，
然后根据频率直方图各小长方形面积相加为1，得出m的值为0.032。
第二问求的是笔试的平均成绩，即求平清燃均值。频率直方图的平均值等于每个小长方形面积乘上每组横坐标的中点。所以根据所得出的数据就可以计算得出平均值为67.1。
第三问估计录取分数线。首先求出录取率，即600/2000=0.3。即应录取成绩最高的30％的报名者。
根据频率直方图可得。80-100分及以上占总体比例的20％，70-100分及以上占总体比例的40%，所以录取分数线应该在70-80之间。所以设录取分早姿数线为x，则（80-x）/（80-70）×0.2+0.15+0.05=0.3。解出来x＝75。
