目录特殊直角三角形边长之比 中考三角形题型 特殊三角形 一个三角形中至少有几个锐角 特殊三角形三边关系
几何可以说占了初中数学的半壁江山，囊括了包括等角三角形在内的无数重点知识、难点知识、无数的中考考点。为此，以下是我分享给大家的初中等角三角形综合知识，希望可以帮到你!
初中等角三角形综合知识
第一章 图形的初步认识
考点一、线段垂直平分线，角的平分线，垂线
1、线段垂直平分线枣汪汪的性质定理及逆定理
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的凳仔垂直平分线。
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
2、角的平分线及其性质
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 角的平分线有下面的性质定理：
(1)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
(2)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
3垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 考点二、平行线
1、平行线的概念
陵迹在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。
4、平行线的性质
(1)两直线平行，同位角相等;(2)两直线平行，内错角相等;(3)两直线平行，同旁内角互补。
考点三、投影与视图
1、投影
投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。 平行投影：由平行光线(如太阳光线)形成的投影称为平行投影。
中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。
2、视图
当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。
主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。
俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。
左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。
第二章 三角形
考点一、三角形
1、三角形的分类
三角形按边的关系分类如下：
不等边三角形
三角形 底和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
三角形按角的关系分类如下：
直角三角形(有一个角为直角的三角形)
三角形 锐角三角形(三个角都是锐角的三角形)
斜三角形
钝角三角形(有一个角为钝角的三角形)
把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。
2、三角形的三边关系定理及推论
(1)三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
3、三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：
①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角对等边;等边对等角;大角对大边;大边对大角。
4、三角形的面积
三角形的面积=1×底×高 2
考点二、全等三角形
1、全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、三角形全等的判定
三角形全等的判定定理：
(1)边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS ”)
(2)角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA ”)
(3)边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS ”)。 直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理(斜边、直角边定理)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL ”)
3、全等变换
只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种：
(1)平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
(2)对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。
(3)旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。 考点三、等腰三角形
1、等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
2、三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(1)三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
(2)要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
第三章 解直角三角形
考点一、直角三角形的性质
1、直角三角形的两个锐角互余
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
4直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即
a 2+b 2=c 2
5、摄影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中
项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项
∠ACB=90
CD 2=AD ∙BD
AC 2=AD ∙AB
CD ⊥BC 2=BD ∙AB
6、常用关系式
由三角形面积公式可得：
AB ∙CD=AC∙BC
考点二、锐角三角函数的概念 (3~8分)
1、如图，在△ABC 中，∠C=90°
①sin A =∠A 的对边a = 斜边c
∠A 的邻边b = 斜边c ②cos A =
③tan A =∠A 的对边a = ∠A 的邻边b
∠A 的邻边b =
∠A 的对边a ④cot A =
(1)互余关系：sinA=cos(90°—A) ，cosA=sin(90°—A) ，tanA=cot(90°—A) ，cotA=tan(90°—A)
(2)平方关系：sin A +cos A =1
(3)倒数关系：tanA ∙tan(90°—A)=1
(4)弦切关系：tanA=22sin A cos A
初中等角三角形做题技巧
一般来说考试中线段和角相等需要证明两个三角形全等，故我们可以采取逆思维的方式。来想要证全等，则需要什么(AAS/ASA/SAS等)。在我看来，觉得先边看题边看图，做到数形结合，弄明白题意，找出我们要求解的实质的问题。例如要我们求线段相等或角相等，我们就要转化成证明两个三角形全等。我觉得分析题意很重要，一定要使学生学会分析，就如“授之以鱼不如授之以渔。”
我们已经具备了有关线的初步知识，转而探索具有更美妙、更复杂性质的形。对于三角形，一方面要研究一个图形中不同元素(边、角)间的性质，另一方面要关注两个图形间的关系。两个图形关系的有关全等的内容，则是平面几何中的一个重点，是证明线段相等、角相等以及面积相等的有力。那么如何学好三角形全等的证明呢?这就要勤思考，小步走，进行由易到难的训练，实现由模仿证明到独立推理、由实(题目已有现成图形)到虚(要自己画图形或需要添加辅助线)的升华。具体可分为三步走：
第一步，学会解决只证一次全等的简单问题，重在模仿。这期间要注意模仿课本例题的证明，使自己的证明格式标准，语言准确，过程简练。如证明两个三角形全等，一定要写出在哪两个三角形，这既方便批阅者，更为以后在复杂图形中有意识去寻找需要的全等三角形打下基础;同时要注意顶点的对应，以防对应关系出错;证全等所需的三个条件，要用大括号括起来;每一步要填注理由，训练思维的严密性。通过一段时间的训练，对证明方向明确、内容变化少的题目，要能熟练地独立证明，切实迈出坚实的第一步。
第二步，能在一个题目中两次用全等证明过渡性结论和最终结论，学会分析。在学习直角三角形全等、等腰三角形时逐步加深难度，学会一个题目中两次证全等，特别要学会用分析法有条不紊地寻找证题途径，分析法目的性强，条理清楚，结合综合法，能有效解决较复杂的题目。同时，这时的题目一般都不只一种解法，要力求一题多解，比较优劣，总结规律。
第三步，学会命题的证明，初步掌握添加辅助线的常用方法。命题的证明可全面锤炼数学语言(包括图形语言)的运用能力，辅助线则在已知和未知间架起一座沟通的桥梁，这都有一定的难度，切勿放松努力，前功尽弃。同时要熟悉一些基本图形的性质，如“角平分线+垂直=全等三角形”。证明全等不外乎要边等、角等的条件，因此在平时学习中就要积累在哪些情况下存在或可推出边等(或线段等)、角等。烂熟于心，应用起来自然会得心应手。
只要一步步扎实做好这些工作，就会在“边边角角”中发现几何的奥妙，大增学习的兴趣。通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
初中三角形辅助线口诀
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，倍长中线得全等。
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相似三角形中考占比20左右。相似三角形在初中数学中所占比例大，且渣姿迅难度高，通常出现在大题当中，与全等三角形三角函数结合进行考题的考点，所以对于册配相似三角形这一块的基础知识内容的牢固性掌握，对于解决难题奠定了坚实的基础，而且要明白全等三角形，就是相似三角形的特殊情况，所以在学习时除了掌握相似三角形的性质以外，还要进行比对，这样对于求解三角如此形的角度或者是任意一条边的长度，使才能做到融会贯通。
能用。上海市中考考标乱虚中存在特殊角模型（半角、345特殊角哗核燃氏埋、黄金三角形）应用考察，即黄金三角形可以用于考试。
相似三角形是初中数学中的一个非常重要的知识点，它也是历年中考的热点内容，通常考查以下三个部分：一是考查相似三角形的判定；二是考查利用相似三角形的性质解题；三是考查与相似三角形有关的综合内容。以上试题的考查既能体现开放探究性，又能注重知识之间的综合性。首先我们帮助学生突破相似三角形判定这个难点，下面以两道例题来说明解答策略及规律。
例1.（1）在平行四边形ABCD中，G是DC延长线上一点，AG分别交BD和BC于点E、F，则图中相似三角形共有_____对。
解答对汪迅策：由平行四边形对边平行的性质得到相似三角形的基本图形（平行八字、平行A字）清楚地展现出来，此处是学生掌握比较好的地方；再将相似的特殊情形如全等、相似的传递性加以强调，这部分内容是学生知识的漏洞之处，易混易错。通过问题情境的铺设，层层铺垫，同学们既容易全面理解，又可以抓住解题规律，起到了突出重点、突破难点的效果。
教师在解答此处卖陵李时，利用几何画板辅助。通过将中迟基本图形从复杂图形中分离出来，用不同颜色区分，同一颜色归类，层次清晰，效果明显！
答案：6对
（2）将△ACE绕点C旋转一定的角度后使点A落在点B处，点E落在点D处，且点B、C、E在同一直线上，直线AC、BD交于点F，CD、AE交于点G，
AE、BD交于点H，连接AB、DE。则以下结论中：①∠DHE＝∠ACB，②△ABH∽△GDH，③△DHG∽△ECG，④△ABC∽△DEC，⑤CF＝CG，其中正确的是______
解答对策：教师引领学生挖掘隐含条件，利用不同颜色将重要的图形一一清楚地展现出来，同学们可以抓住解题方法、规律。教师通过创设情境，层层铺垫，有利于学生的理解，有利于学生的迁移和技能的形成，有利于完善学生的知识结构，实现了突出重点、突破难点的意图。
下面我们逐一分析每个结论：
结论①：由旋转得，∠CEA=∠CDB=β，∠CBD=∠CAE=γ
∠1=∠CBD+∠CEA=γ+β，∠2=∠CAE+∠CEA=γ+β
所以得，∠1=∠2，即∠DHE＝∠ACB
结论③：由∠CEA=∠CDB，∠DGH=∠EGC
所以得△DHG∽△ECG
（两角对应相等的三角形相似）
结论④：由△DHG∽△ECG，得∠DHG=∠ECG
同理∠AHF=∠BCF，又∠DHG=∠AHF，
所以∠BCA=∠ECD
又AC=BC，DC=EC，所以△ABC∽△DEC
（两边对应成比例且夹角对应相等的三角形相似）
结论②：若△ABH∽△GDH，则∠ABH=∠GDH=β
则∠BAC=∠CBA=γ+β，∠ACD=∠BAC=γ+β
在△ABH中，γ+β+γ+β+α=180o
点B、C、E共线，γ+β+α+α=180o
解方程，得α=60o，则△ABC是等边三角形，与已知矛盾，则结论②不成立。
专题9：三角形
一、选择题
1.（2012浙江杭州3分）如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则【】
A．点B到AO的距离为sin54° B．点B到AO的距离为tan36°
C．点A到OC的距离为sin36°sin54°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°
【答案】C。
【考点】平行线的性质，点到直线的距离，锐角三角形函数定义。
【分析】由已知，根据锐角三角形函数定义对各选项作出判断：
A、由于在Rt△ABO中∠AOB是直角，所以B到AO的滑坦距离是指BO的长。
∵AB∥OC，∴∠BAO=∠AOC=36°。
在Rt△BOA中，∵∠AOB =90°，AB=1，
∴BO=ABsin36°=sin36°。故本选项错误。
B、由A可知，选项错误。
C、如图，过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离。
在Rt△BOA中，∵∠BAO=36°，∠AOB=90°，∴∠ABO=54°。
∴AO=AB• sin54°= sin54°。
在Rt△ADO中， AD=AO•sin36°=AB•sin54°•sin36°=sin54°•sin36°。故本选项正确。
D、由C可知，选项错误。
故选C。
3.（2012浙江湖州3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是【】
A．20 B．10 C．5 D．
【答案】C。
【考点】直角三角形斜边上的中线性质。
【分析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD的长：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，
∴CD= AB=5。故选C。
4. （2012浙江嘉兴、舟山4分）如图，A、B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，则AB等于【】米．
A． asin40° B． acos40° C． atan40° D．
【答案】C。
【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。
【分洞余析】∵△ABC中，AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，
∴AB=atan40°。故选C。
5. （2012浙江宁波3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB= ，则BC的长为【】
A．4B．2 C． D．
【答案】A。
【考点】锐角三角函数的定义。
【分析】∵cosB= ，∴ 。
又AB=6，∴ 。故选A。
二、填空题
1. （2012浙江湖州4分）如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若 ，则△ABC的边长是▲
【答案】12。
【考点】一元二次方程的应用（几何问题），菱形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义。
【分析】设正△ABC的边长为x，则由勾股定理，得高为 ， 。
∵所分成的都是正三角形，
∴根据锐角三角函数定义，可得黑色菱形的较长的对角线为，较短的对角线为 。
∴黑色菱形的面积= 。
∴ ，整理得，11x2－144x＋144=0。
解得 （不符合题意，舍去），x2=12。
所以，△ABC的边长是12。
2. （2012浙江、舟山嘉兴5分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交GD、CA于点E、F，信颤桐与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：
① ；②点F是GE的中点；③AF= AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是 ▲ ．
【答案】①③。
【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质。
【分析】∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC。
又∵AG⊥AB，∴AG∥BC。∴△AFG∽△CFB。∴ 。
∵BA=BC，∴ 。故①正确。
∵∠ABC=90°，BG⊥CD，∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°。∴∠DBE=∠BCD。
∵AB=CB，点D是AB的中点，∴BD= AB= CB。∴ 。
又∵BG丄CD，∴∠DBE=∠BCD。∴在Rt△ABG中， 。
∵ ，∴FG= FB。故②错误。
∵△AFG∽△CFB，∴AF：CF=AG：BC=1：2。∴AF= AC。
∵AC= AB，∴AF= AB。故③正确。
设BD= a，则AB=BC=2 a，△BDF中BD边上的高= 。
∴S△ABC= ， S△BDF
∴S△ABC=6S△BDF，故④错误。
因此，正确的结论为①③。
三、解答题
1. （2012浙江丽水、金华6分）学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB长为12米．为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1：3(即为CD与BC的长度之比)．A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD．
【答案】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
∴AC＝ AB＝6，BC＝ABcos∠ABC＝12× 。
∵斜坡BD的坡比是1：3，∴CD＝ 。∴AD＝AC－CD＝6－ 。
答：开挖后小山坡下降的高度AD为(6－ )米。
【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】在直角△ABC中，利用三角函数即可求得BC、AC的长，然后在直角△BCD中，利用坡比的定义求得CD的长，根据AD＝AC－CD即可求解。
2. （2012浙江绍兴8分）如图1，某超市从一楼到二楼的电梯AB的长为16.50米，坡角∠BAC为32°。
（1）求一楼于二楼之间的高度BC（精确到0.01米）；
（2）电梯每级的水平级宽均是0.25米，如图2．小明跨上电梯时，该电梯以每秒上升2级的高度运行，10秒后他上升了多少米（精确到0.01米）？备用数据：sin32°=0.5299，con32°=0.8480，tan32°=6249。
【答案】解：（1）∵sin∠BAC= ，∴BC=AB×sin32°=16.50×0.5299≈8.74米。
（2）∵tan32°= ，∴级高=级宽×tan32°=0.25×0.6249=0.156225
∵电梯以每秒上升2级，∴10秒钟电梯上升了20级。
∴小明上升的高度为：20×0.156225≈3.12米。
【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义 。
【分析】（1）直接根据正弦函数定义可求一楼于二楼之间的高度BC。
（2）由每级的水平级宽均是0.25米，根据正切函数定义可求每级的级高，从而由电梯以每秒上升2级可得电梯上升的级数，因此即可求得小明上升的高度。
3. （2012浙江绍兴10分）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念。
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心。
举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心。
应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD= AB，求∠APB的度数。
探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长。
【答案】解：应用：①若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC，
∵CD为等边三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°。
∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD= DB= AB。
与已知PD= AB矛盾，∴PB≠PC。
②若PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC。
③若PA=PB，由PD= AB，得PD=AD =BD，∴∠APD=∠BPD=45°。∴∠APB=90°。
探究：∵BC=5，AB=3，∴AC= 。
①若PB=PC，设PA= ，则 ，∴ ，即PA= 。
②若PA=PC，则PA=2。
③若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能。
∴PA=2或 。
【考点】新定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理。
【分析】应用：连接PA、PB，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度数。
探究：先根据勾股定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解。
4. （2012浙江绍兴12分）小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索。
【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？
（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：
解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，
则B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1=
而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由 得方程，
解方程得x1=，x2=，
∴点B将向外移动米。
（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：
【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？
【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？
请你解答小聪提出的这两个问题。
【答案】解：（1） ；0.8，﹣2.2（舍去）；0.8。
（2）①不会是0.9米，理由如下：
若AA1=BB1=0.9，则A1C=2.4﹣0.9=1.5，B1C=0.7+0.9=1.6，1.52+1.62=4.81，2.52=6.25，
∵ ，∴该题的答案不会是0.9米。
②有可能。理由如下：
设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，
则有 ，解得：x=1.7或x=0（舍去）。
∴当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等。
【考点】勾股定理的应用，一元二次方程的应用。
【分析】（1）直接把B1C、A1C、A1B1的值代入进行解答即可。
（2）把（1）中的0.4换成0.9可知原方程不成立；设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米代入（1）中方程，求出x的值符合题意。
5. （2012浙江台州8分）如图，为测量江两岸码头B、D之间的距离，从山坡上高度为50米的A处测得码头B的俯角∠EAB为15°，码头D的俯角∠EAD为45°，点C在线段BD的延长线上，AC⊥BC，垂足为C，求码头B、D的距离（结果保留整数）．
【答案】解：∵AE∥BC，∴∠ADC=∠EAD=45°。
又∵AC⊥CD，∴CD=AC=50。
∵AE∥BC，∴∠ABC=∠EAB=15°。
又∵ ， ∴ 。
∴BD≈185.2﹣50≈135（米）。
答：码头B、D的距离约为135米。
【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），等腰直角三角形的性质，平行的性质，锐角三角函数定义。
【分析】由∠EAB=15°，根据平行的性质，可得∠ABC=∠EAB=15°。从而解直角三角形ABC可求得BC的长。由∠ADC=∠EAD=45°可得CD=AC=50。从而由BD=BC－CD可求得B、D的距离。
6. （2012浙江台州12分）已知，如图1，△ABC中，BA=BC，D是平面内不与A、B、C重合的任意一点，∠ABC=∠DBE，BD=BE．
（1）求证：△ABD≌△CBE；
（2）如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵∠ABC=∠DBE，∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD。∴∠ABD=∠CBE。
在△ABD与△CBE中，BA=BC，∠ABD=∠CBE，BD=BE，
∴△ABD≌△CBE（SAS） 。
（2）解：四边形BDEF是菱形。证明如下：
由（1）△ABD≌△CBE，∴CE=AD。
∵点D是△ABC外接圆圆心，∴DA=DB=DC。
又∵BD=BE，∴BD=BE=CE=CD。
∴四边形BDCE是菱形。
【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外接圆的性质，菱形的判定。
【分析】（1）由∠ABC=∠DBE，根据等量加等量和相等，得∠ABD=∠CBE，从而根据SAS即可证得结论。
（2）由三角形外接圆圆心到三个顶点距离相等的性质和（1）的结论，得到四边形四边相等，从而得出结论。
7. （2012浙江温州9分）某海滨浴场东西走向的海岸线可以近似看作直线l(如图).救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号，他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙.乙马上从C处入海,径直向B处游去.甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处,再向B处游去.若CD=40米,B在C的北偏东35°方向,甲乙的游泳速度都是2米/秒.问谁先到达B处？请说明理由.
(参考数据：sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43)
8. （2012浙江义乌6分）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是 ．（不添加辅助线）．
【答案】解：添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）。
以添加DE=DF证明：
在△BDF和△CDE中，
∵BD=CD（已知），∠EDC=∠FDB（对项角相等），DE=DF（添加），
∴△BDF≌△CDE（SAS）。
【考点】全等三角形的判定。
【分析】由已知BD=CD，又∠EDC﹦∠FDB，因为三角形全等条件中必须是SSS，SAS，ASAA或AAS，故添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）。
