目录罗尔定理的推论证明 罗尔原话证明 罗尔中值定理证明二次求导 质心公式考研 张宇罗尔定理证明
构造辅助函数，F'(x)=f(x)f''(x)+(f'(x))^2，F(x)=f(x)·f'(x)
我们目的是，证明F（x）在三个不同的点是取相同的值的，
从而可用罗尔定理证F’（x）有两个不同的零点
即f(x)f''(x)+(f'(x))^2=0有两个零点
想想这道题有过哪些特液扰殊点，
我们通过第一题已知f（η）=0，那么很容易想到，让F(x)=0
F(η)=f(η)·f'(η)=0，
还有没有点0？
这题有一个陷阱，就是f(0)=0，而不是<0。
极限存在必有限，f(x)=f(x)/x ·x ；有界×无穷小=0
（其实不难理解，f(x)必须是x的同阶无穷小，哪怕找个唯尺f(x)=x验证下也就不会错得f(0)<0了。）
所以F(0)=f(0)·f'(0)=0
前面我们两个F(x)=0都是用了f(x)=0，f’(x)还没用到，一般地，题目会让f’(x)也能得0
因为f(0)=f(η)，故有f'(ξ)=0, F(ξ)=0, 0<ξ<η
因为F(0)= F(ξ)=0,故有F’（a）=0，a∈(0,ξ)包含于（0,1）
因为F(ξ)= F(η)=0,故有F’（b）=0，b∈(ξ,η)包含于（0,1）
即f(x)f''(x)+(f'(x))^2=0有两个零点a,b∈（0,1）闹山旦
从我研究的历年真题中不难看出，考研数学考试大纲（数学一、数学二、数学三）近五凳迟年没有任何变
化，这说明考研命题的规律依然延续往年的原则，不会出现偏题、怪题、超纲题目，仍然以考察基本概念、
基本理论和基本方法为主，所以按照海文老师给出的学习计划按部就班地放心复习，努力就一定会有更大
的收获，更好的成绩。
与中值相关的证明题是历年考研试题中的重点也是难点，得分率不高，考生对具体定理的条件结论能
看明白，但是做题的时候，不知道如何使用。其主要原因是不能把具体的知识点和考题结合起来，不会归
纳其中的常考题型，这里我们万学教育海文考研的数学老师将要重点介绍与中值相关的证明题的处理手
法，以期起到举一反三的作用。根据我们的统计分析，微分中值定理的三大定理中，罗尔定理、拉格朗日
定理考查频繁，而柯西中值定理考查相对较少，一般数学一、数学二更容易考查。首先，我们对比分析一
下它们的条件、结论与可命题角度。
先来看罗尔定理，罗尔定理的条件是闭区间上连续，开区间内可导，端点值相等，结论是至少存在一
点，使得，即导函数有零点，从结论上就可以看出来罗尔定理可以用来证明导函数有
零点。罗尔定理有三个可命题角度：1.证明：或者，2.证明：
，3.导函数零点个数的讨论。
再来看第二个重要的定理-拉格朗日中值定理，它的条件是闭区间上连续，开枣液李区间内可导，结论是至
少存在一点，使得。下拉格朗日中值定理也有三个可命题角度，1.含有端点
值中值等式的证明，2.不等式的证明（出现函数值之差），3.讨论函数有界性。
最后咱们简单地看一下柯西中值定理，条件是闭区间上连续，开区间内可导，,结论是至少
存在一点，使。柯西中值定理主要是用来证明含有中值的等式
。它与罗尔以及拉格朗日中值定理有一个很好区
分的特征——包含两个函数。
现在给大家讲了三个中值定理的条件、结论以及可命题的角度，那么考生们在做题过程中会遇到什么
样的困难呢？主要有三点，第一点：定理的选择。要证明一个含有中值的等式，到底是用罗尔定理？拉格
朗日中值定理？还是柯西？第二点：辅助函数的构造。我们在证明含有中值的等式时，往往需要构造辅助
函数，如何构造辅助函数也是一个难点。第三点：条件的验证。比如说要用罗尔定理证明导函数有零点，
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此时要保证函数在区间内有两点的函数值相同，这两点不一定是端点，如何找到这两点比较困难。
首先，定理的选择有赖于对定理的深入了解，我们前面的陈述已经是初露端倪。根据条件、结论的不
同以及问题的难易程度，我们推荐如下次序：对于结论中不含端点信息的题目，我们考虑罗尔定理，对于
结论中含有端点信息的题目，我们首先考虑用拉格朗日中值定理，先构造一个辅助函数试验一下，如果得
不到所需结果，再考虑用柯西中值定理（如果条件中明显出现两个不同函数，或者某个函数的导数非0，
则首选柯西中值定理）。对于较少考到的“双中值问题”（结论中出现两个中值），一般考虑用两次拉
格朗日中值定理或者柯西中值定理。
其次，辅助函数的构造有如下常用手段。1.观察联想法。我们可以通过观察所要证明等式的形式,看
它是否与我们常见的函数导数公式相似或相同，当两者相似或相同时,我们可以立即联想到导数公式左端括
号内的函数就是我们所要构造的辅助函数；当不相似的时埋缺候，我们考虑加个因子，变成相似。加的因
子多为指数函数和幂函数.这是几个常见的形式：
2.原函数法。当出现与等有关的等式时，我们把结论中的换成后，经过适当恒等变形
（通分、十字交叉相乘、移项等）使等式右端为0,通常等式左端即为所要构造的函数导函数。
在很多情况下，我们对等式左端进行积分就可以得到辅助函数，我们再验证辅助函数是否满足微分中
值定理的条件，这就是原函数法，也称积分构造法.。
3.K值法。当我们要证明含有或且含有端点的等式时，常可以把含有的式子设
为，通过恒等变形（通分、交叉相乘、移项等）使得等式的右端为零，把等式中右端点换成，等式
左端的式子即为辅助函数，这就是k值法。
早我看来，只要大家把握微分中值定理的条件、结论与常考题型，多做有代表性的相关习题，时常
回顾总结，一定能突破考研数学中的重难点。
构造函数证明拉格朗日定理如下：
拉格朗日中值定理是考研数学复习的重点，经常出现在证明题中，是考研数学的重点和难点。2009年的考研数学(包括数一、数二、数三)真题中的一道证明题中的第一问甚至要求证明该定理。
下面文都考研数学教研老师结合该真题，给出该定理的三种证明思路，希望能帮助同学们掌握和利用该定理。
首先，我们一起看一下该定理：
(拉格朗日中值定理)
然后，我们一弊御起学习三种具体的证明方法：
1、原函数构造法
下面给出具体的证明过滑则程：
2、作差构造函数法
该法也主要利用罗尔定理证明，只是函数构造方法与1有所不同，下面给出具体的证明过程：
2018考研数学:拉格租让岩朗日中值定理的三种证明方法
3、行列式法
考研数学复习
上述三种方法都是基于罗尔定理证明的，主要是构造出一个满足罗尔定理的函数。拉格朗日中值定理的证明方法，同学们务必要牢牢掌握至少一种。另外，同学们在做与拉格朗日中值定理相关的证明题时，可以借鉴上述三种方法来构造函数。
从拉格朗日中值定理的证明方法中，我们也会发现数学的方法多种多样，不拘泥于一种形式。所以，在平时的做题过程中，同学们要灵活多变，注意选用适合的方法解决题目。
罗尔（Rolle）定理
如果函数f(x)在闭让迹区间[a,b]上连续,在开区锋碰间(a,b)内可导,且在区间端坦基并点的函数值相等,即f(a)=f(b),那末在(a,b)内至少有一点ζ（a
可以，楼上几位证的啥呀，还泰勒公式，命题12345，就是rolle定理推论啊，这都不会？
反证法：假如n阶导数有k个零点，假设n-1个导数有大于k+1个零点，不御信妨假设有k+2个零点，那么由rolle定理，n阶导数则有侍拿k+1个不同的零点，矛盾，故n-1阶导数至多k+1个零点。
然后递推老拆搭，证完了。
